派遣で働いており、3月20日が契約終了日です。
年次有給休暇を取得し、3月15日から20日までを休みたいと申し出たところ、
契約終了日まで働くと言っていたのに休みを取りたいなんて、債務不履行で訴え
ます、損害賠償が発生しますと言われてしまいました。
どうすればいいのでしょうか?

労働者から年次有給休暇の申請を受けた会社は、指定された日に休暇を取らせなければならないというのが原則です(労働者の「時期指定権」)。

しかし会社には、事業の正常な運営が妨げられる場合には指定された時期を変更できる権利「時期変更権」があります。
「時季変更権」は、労働者が年次有給休暇を取得することによって会社の業務が回らなくなってしまう場合には、会社側は、別の日に年次有給休暇を取得するよう時季を変更することができるという権利です。

今回のケースにおいて、会社側が時季変更権を行使したのかどうかは不明ですが、仮に会社側が時季変更権を行使した日に出勤しなければ、労働者は債務不履行になってしまいます。
しかし、債務不履行となっても、会社に損害が発生したかどうかは別の問題です。
また会社側には、そのような損害が発生しないように回避する努力が求められます。

まずは1日だけ年次有給休暇をとり、労働基準監督署に相談する方法や、会社との間に合意文書をとり、年次有給休暇の日数分だけ、労働契約日の終了日を延長してもらい、年次有給休暇を行使して、その分の給料をもらう方法などが考えられます。