会社側から労働者に対して、消化できない年次有給休暇は捨てろなどと
放棄するよう促すことは、問題ないのでしょうか。

会社側が労働者に対し、年次有給休暇取得を放棄するよう促すことは違法です。

このような行為が社内で常態化している場合、労働基準監督署に相談すると
よいでしょう。