年次有給休暇が付与されないなどの労使間トラブルが発生した際に、
警察ではなく労働基準監督署へ訴え出るのはなぜでしょうか。

労働基準法 第102条には、
労働基準監督官は、この法律違反の罪について、刑事訴訟法に規定する司法警察官の
職務を行う。

という定めがあり、労働基準監督官には基準法違反の罪に対する警察官としての任務が
あることが明示されています。

警察については、警察法や施行令で職務範囲、組織構成が規定されていますが、
労働基準法をつかさどる部署は定義されていないのです。