退職前の年次有給休暇中に婚姻届を提出し、名義が変更になった場合に、
会社から名義を変更せず旧姓のまま退職して欲しいと言われたら、
雇用保険や離職票において役所等での手続きに問題は発生しないのでしょうか?

本来は名義変更を行わなければならないものではありますが、
旧姓のままでも問題ない場合もあります。
まずは役所へ電話等で問い合わせをしてみましょう。